統計に必要な数式をまとめる

• 1. 基本
  • 1.1. 平均値
  • 1.2. 平方和
  • 1.3. 不偏分散
  • 1.4. 標準偏差
  • 1.5. 変動係数
  • 1.6. 工程能力指数
    • 1.6.1. 両側規格
    • 1.6.2. 片側規格
• 2. 統計量の検定/推定
  • 2.1. 平均値の検定/推定
  • 2.2. 分散の検定/推定
• 3. 計数値の検定/分散
  • 3.1. 二項分布の検定/推定
  • 3.2. ポアソン分布の検定/推定

新潟大学ありがとう https://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/download/mathjax.pdf

1. 基本

1.1. 平均値

• 小学生

\[\begin{align*} \bar{x}= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n} \end{align*}\]

1.2. 平方和

• まだわかる

\[\begin{align*} \bar{S} &= \sum {(x_{i}-\bar{x})^2} \\ \\ &=\sum {x_{i}^2 - \frac{(\sum x_{i})^2} {n}} \end{align*}\]

1.3. 不偏分散

• まだまだ

\[\begin{align*} V = &\frac{平方和} {自由度} \\ \\= &\frac{平方和} {n - 1} \end{align*}\]

1.4. 標準偏差

• まだまだ、、、

\[\begin{align*} s = \sqrt {不偏分散} \end{align*}\]

1.5. 変動係数

• 標準偏差と平均値の比

\[\begin{align*} CV = &\frac{標準偏差} {\bar{平均値}} \end{align*}\]

1.6. 工程能力指数

1.6.1. 両側規格

\[\begin{align*} Cp= &\frac{規格の上限 - 規格の下限} {6 \times 標準偏差} \end{align*}\]

1.6.2. 片側規格

\[\begin{align*} 上限の規格= &\frac{規格の上限 - 平均値} {3 \times 標準偏差} \end{align*}\] \[\begin{align*} 下限の規格 = &\frac{平均値 - 規格の下限} {3 \times 標準偏差} \end{align*}\]

2. 統計量の検定/推定

2.1. 平均値の検定/推定

• 母集団の分散が既知の場合の検定統計量

\[\begin{align*} Z = &\frac{\bar X - \mu_0} {\frac{\sqrt {\sigma^2}}{\sqrt n}} \end{align*}\]

• 母集団の分散が未知の場合の検定統計量（母分散が偏分散になっただけ）

\[\begin{align*} t = &\frac{\bar X - \mu_0} {\frac{\sqrt {V^2}}{\sqrt n}} \end{align*}\]

2.2. 分散の検定/推定

• 検定統計量

\[\begin{align*} X_0^2 = &\frac{平方和} {\sigma_0^2} \end{align*}\]

3. 計数値の検定/分散

• 基本的に計数値でも正規分布に持っていけるのでどんな正規分布になるかさえ抑えればあとは、正規分布の検定/推定と同じと考えられるはず

3.1. 二項分布の検定/推定

• 不適合品率を近似すると下記の正規分布に従う

\[\begin{align*} (母不適合品率, \frac {母不適合品率(1-母不適合品率)} n) \end{align*}\]

3.2. ポアソン分布の検定/推定

• 不適合品率を近似すると下記の正規分布に従う

\[\begin{align*} (母不適合数, \frac {母不適合数} n) \end{align*}\]